- La chaîne complète. Ce déroulé ne démontre rien de neuf : il rejoue p01-01 sur un seul exemple, à l'oral, en quatre maillons. Les chiffres sont repris tels quels.
- Binomiale(n, p). Somme de n Bernoulli(p) indépendantes : E = np, Var = np(1−p).
- Transformation affine. Var(aX) = a²Var(X) — c'est ce a² qui fabrique le 1/n du SE.
- Notation. L'estimateur porte son chapeau : p se calcule sur les données, π non. En fréquentiste, p(x ; π) et jamais p(x | π).
Les quatre maillons, sur 872/1 000
Ce qui est tiré
Avant toute formule, trois colonnes en une ligne : fixe, aléatoire, procédure. La colonne du milieu n'a qu'une entrée — le test set. X et p en descendent, ce ne sont pas des sources d'aléa de plus.
« Le modèle est figé et π est une propriété de la population, donc la seule chose tirée au sort est le test set, donc le chiffre calculé dessus hérite de cet aléa. »
| fixe | aléatoire | procédure |
|---|---|---|
| π (accuracy vraie) le modèle, ses poids n = 1 000 | le test set (seule entrée) ↓ X = 872 ↓ p = 0,872 | tirer 1 000 lignes → compter les bonnes → diviser par n |
La troisième colonne est la seule qu'on écrit en toutes lettres : c'est elle que le SE finira par décrire.
La loi de X
Chaque ligne du test set est réussie ou ratée : une Bernoulli(π). Sous H1 et H3 elles sont indépendantes, et X est leur somme.
« Chaque ligne est une Bernoulli(π) et les lignes sont indépendantes, donc X est leur somme, donc X suit une Binomiale(1 000, π), d'espérance 1 000π et de variance 1 000π(1 − π). »
En posant π = 0,87 pour chiffrer :
On en a observé 872. L'écart de 2 lignes tient dans un cinquième d'écart-type : c'est le tirage, pas une anomalie.
La loi de p tronc
p = X/n : une transformation affine de coefficient 1/n. L'espérance se divise par n, la variance par n².
Le SE est l'écart-type de la distribution d'échantillonnage : la largeur de l'histogramme qu'on obtiendrait en refaisant l'expérience. Il décroît en 1/√n.
« p est X divisé par n, donc son espérance vaut π et il est non biaisé, donc sa variance est celle de X divisée par n², c'est-à-dire π(1 − π)/n, donc le SE vaut √(0,87 × 0,13 / 1 000) = 0,0106. »
Arrondi de sonde : 0,0106. Le SE de p est exactement σ(X)/1 000 = 10,6/1 000 — même largeur, deux unités.
Vérification de cohérence à dire en passant : ×100 sur n ⇒ ÷10 sur le SE.
Chaque tirage simule un test set entier de 1 000 lignes (1 000 Bernoulli, vraiment tirées) et pose son p dans l'histogramme. Le trait bleu est π = 0,87, fixe ; le trait ambre pointillé est p = 0,872, le seul point qu'on observe dans la vraie vie ; le trait rouge est la moyenne des tirages. Clique « tirer 500 » : l'écart-type affiché sous la figure converge vers le 0,0106 calculé à gauche. C'est la même largeur, une fois mesurée, une fois dérivée.
Le plug-in, et le mot « procédure » tronc
La formule du SE contient π, qui est justement l'inconnue. On y substitue l'estimateur :
Légitime car p ↦ p(1−p) varie lentement autour de son argument : l'erreur est un ordre de grandeur sous la quantité estimée.
« Le SE dépend de π qui est inconnu, donc on y branche p = 0,872, donc on obtient 0,01056 au lieu de 0,010635, donc on rapporte 0,872 ± 0,011 où 0,011 décrit la procédure. »
| SE calculé en | valeur |
|---|---|
| π = 0,87 (inaccessible) | 0,010635 |
| p = 0,872 (plug-in) | 0,010565 |
Écart : 7·10−5, soit 0,7 % du SE. Les deux donnent 0,872 ± 0,011.
Le mot « procédure », cash. « 0,872 ± 0,011 » se traduit mot à mot : « la procédure “tirer 1 000 lignes dans la population d'usage, compter les bonnes réponses du modèle figé, diviser par 1 000” produit des valeurs dispersées de 0,011 autour de π ; celle que j'ai tirée vaut 0,872. »
Test de la phrase : 0,872 est tombé, il ne varie plus, il n'a pas de variance. Passer à n = 10 000 change le SE sans changer π — le SE bouge quand la recette bouge, jamais quand la vérité bouge. Si ce paragraphe ne vient pas, la sonde est tombée.
Le second exemple — les mêmes quatre maillons sur 28/30
Un rappel : 28 positifs retrouvés sur 30 positifs réels. Rien ne change dans les maillons, sauf ce qui est tiré : le rappel conditionne sur les positifs, donc l'échantillon est l'ensemble des 30 positifs.
Maillons 2, 3, 4 mot pour mot, avec n+ = 30 au lieu de 1 000.
« Le rappel se calcule sur les positifs réels, donc l'échantillon tiré est l'ensemble des 30 positifs, donc n vaut 30 et non 1 000, donc le SE vaut √(0,933 × 0,067 / 30) = 0,0455. »
| maillon | accuracy 872/1 000 | rappel 28/30 |
|---|---|---|
| 1 · ce qui est tiré | le test set, 1 000 lignes | les positifs réels, 30 |
| 2 · loi de X | Bin(1 000, π) | Bin(30, ρ) |
| 3 · loi de l'estimateur | p = 0,872, SE = 0,0106 | r = 0,933, SE = 0,0455 |
| 4 · plug-in | 0,872 ± 0,011 | 0,933 ± 0,089 |
Le SE est 4,3 fois plus large, uniquement parce que le dénominateur est passé de 1 000 à 30. Un rappel sur classe rare est bruité par son effectif de positifs, pas par la prévalence.
La marche 5 du second exemple casse
Sur 872/1 000 la sonde s'arrête au maillon 4. Sur 28/30 il en faut un de plus, parce qu'on a écrit « ± » sans vérifier d'où vient la forme : le ± 1,96 SE de Wald vient du TCL, qui exige succès et échecs ≥ 10. Ici il y a 28 succès et 2 échecs.
« Wald suppose r approximativement normale, donc il exige succès et échecs ≥ 10 chacun, donc avec 2 échecs seulement sa borne haute sort à 1,023, hors de [0 ; 1], donc on change d'intervalle — Wilson, [0,787 ; 0,982] — et non de formule de SE. »
- Wald déborde. 0,933 ± 1,96 × 0,0455 = [0,844 ; 1,023]. Une borne au-dessus de 1 pour une proportion : c'est la forme normale qui a lâché, pas le SE. Wilson résout l'équation en π au lieu d'y brancher r, et reste dans [0 ; 1] : [0,787 ; 0,982].
- Ce qui casse est le nombre d'échecs. min(succès, échecs) = 2 < 10. Une classe de prévalence 1 % avec 4 000 positifs et 300 échecs ne pose aucun problème ; 30 positifs dont 2 ratés, si. La prévalence n'est pas le critère.
- Les maillons 1 à 3 tiennent quand même. Le modèle Bernoulli, l'additivité des variances et √(r(1−r)/n+) restent valides : 0,0455 est le bon SE. Seule l'étape « largeur ⇒ intervalle » demande une autre recette.
Résumé
- Maillon 1 — ce qui est tiré : le test set, seule entrée. Fixe π · aléatoire test set → X → p · procédure tirer → compter → diviser.
- Maillon 2 — X ~ Binomiale(1 000, π) : E = 870, Var = 113,1.
- Maillon 3 — p = X/n : E = π, Var = π(1−π)/n, SE = √(0,87 × 0,13 / 1 000) = 0,0106.
- Maillon 4 — plug-in de p : 0,01056. On rapporte 0,872 ± 0,011, et 0,011 décrit la procédure, pas le 0,872 qui est tombé.
- Second exemple — rappel 28/30 : seul le maillon 1 change (n+ = 30), SE = 0,0455, soit 4,3 fois plus large.
- Marche 5 — 2 échecs < 10 : Wald sort à 1,023, Wilson donne [0,787 ; 0,982]. C'est le nombre d'échecs qui casse la forme, jamais la prévalence.
Chaîne verbalisée — la sonde, à voix haute, sans support
- 872 sur 1 000. Qu'est-ce qui est aléatoire là-dedans ?Le test set, seule entrée. X et p̂ en descendent ; π et le modèle figé sont fixes ; la procédure est « tirer 1 000 lignes → compter → diviser ».
- Quelle est la loi de X ?Binomiale(1 000, π) : somme de 1 000 Bernoulli(π) indépendantes. E[X] = 870, Var(X) = 113,1, σ(X) = 10,6.
- Et celle de p̂ ? Donne le SE.p̂ = X/n : E[p̂] = π (non biaisé), Var(p̂) = π(1−π)/n. SE = √(0,87 × 0,13 / 1 000) = 0,0106.
- On ne connaît pas π. Que fais-tu, et que décrit le nombre que tu écris après le ± ?Plug-in : p̂ dans la formule, 0,01056. J'écris 0,872 ± 0,011, et 0,011 décrit la procédure « tirer 1 000 lignes, compter, diviser » — la dispersion de ses résultats — pas le 0,872, qui est tombé et ne varie plus.
Ponts et cartes
Cette page est une sonde : sa valeur est le temps qu'elle met à sortir, pas le fait de la relire. Le jour où les quatre maillons tombent sans effort, elle ne mesure plus rien — elle devient le patron d'une autre sonde, sur un autre chiffre et une autre métrique.
stats::estimation (estimateur, biais, SE d'une proportion, plug-in, « le SE décrit la procédure »).
Une carte qui résiste après ce déroulé est une carte à refondre, pas une section à relire.