- Les trois colonnes. Fixe (le paramètre), aléatoire (l'échantillon, et l'estimateur qui en descend), procédure (la recette qui transforme l'un en l'autre). Tout le tri de cette chaîne se fait dans ce tableau (p01-01, pas 2).
- Distribution d'échantillonnage et SE. Refaire l'expérience donnerait un autre estimateur ; l'ensemble de ces valeurs a un centre et une largeur, et le SE est cette largeur — une propriété de la procédure, pas du chiffre en main (p01-01, pas 9).
- La normale et son 1,96. Si Z ~ N(0, 1), alors P(|Z| ≤ 1,96) = 0,95 ; par transformation affine, N(μ, σ²) met 95 % de sa masse dans μ ± 1,96σ (p00-01).
- Notation. β̂1 porte son chapeau : il est calculé sur les données. β1 n'en porte pas : c'est le paramètre. En fréquentiste on écrit p(x ; β1) et non p(x | β1) — on ne conditionne pas sur une constante.
La chaîne
Le décor : deux objets, pas un
Une régression, une sortie de logiciel, quatre nombres. Avant toute interprétation, séparer les deux objets que la ligne mélange.
β1 : la pente vraie. Fixe, inconnue, sans distribution. β̂1 : la pente estimée. Aléatoire, connue, de distribution N(β1, SE²). Le premier est dans la colonne fixe, le second dans la colonne aléatoire.
« β1 est fixe et l'échantillon est tiré, donc β̂1 est la seule quantité aléatoire de la sortie, donc les quatre nombres imprimés décrivent tous la distribution de β̂1, jamais β1 lui-même. »
| nombre | ce qu'il est | colonne |
|---|---|---|
| β̂1 = 1,4 | un tirage de la distribution | aléatoire |
| SE = 0,62 | la largeur de cette distribution | procédure |
| p = 0,024 | une aire dans cette distribution, recentrée par H₀ | procédure |
| IC95 = [0,18 ; 2,62] | un intervalle produit par une recette | procédure |
| β1 | la pente vraie | fixe, jamais imprimée |
Le SE vaut 0,62 : sur des échantillons répétés, les β̂1 se dispersent de ± 0,62 autour de β1. C'est la seule chose que l'on sache avant d'avoir posé une hypothèse.
H₀ porte sur le paramètre tronc
L'hypothèse nulle est une phrase sur la colonne fixe : H₀ : β1 = 0. Jamais « β̂1 = 0 », qui serait une phrase sur un nombre qu'on a sous les yeux et qui vaut 1,4.
Ce que H₀ change, et la seule chose qu'elle change, est le centre de la distribution de l'estimateur :
La largeur, elle, ne bouge pas : elle vient de la procédure d'échantillonnage, pas de l'hypothèse. H₀ fixe le centre, le SE fixe la largeur — deux boutons distincts.
« H₀ fixe le paramètre, donc elle fixe le centre de la distribution de l'estimateur, donc on peut calculer où tomberait β̂1 si H₀ était vraie. »
Sous H₀ : β̂1 ~ N(0 ; 0,62²). On mesure la distance de l'observation au centre imposé, en unités de largeur :
Lecture : l'estimateur observé est tombé à 2,26 largeurs du centre que H₀ impose. Le z ne dit encore rien de rare ou pas — il compte des SE, c'est tout.
Rien dans ce calcul ne suppose que H₀ soit vraie ou fausse : on calcule ce que serait le décor si elle l'était.
La p-value est une aire, sous H₀
Une fois le décor posé, la p-value est une probabilité lue dans N(0, SE²) : celle d'obtenir un estimateur au moins aussi loin de 0 que celui observé.
Trois mots à tenir ensemble : c'est une probabilité sur β̂1 (le seul objet aléatoire), conditionnelle à H₀ (le centre est imposé), et bilatérale (les deux queues, tant que la question est « la pente est-elle nulle » et non « est-elle positive »).
« Sous H₀ la distribution de β̂1 est entièrement connue, donc on peut y mesurer l'aire au-delà de la valeur observée, donc cette aire est la p-value — une probabilité sur l'estimateur, jamais sur l'hypothèse. »
1 − Φ(2,26) = 0,0119, donc p = 2 × 0,0119 = 0,024.
| β̂1 observé | z = β̂1/0,62 | p bilatérale |
|---|---|---|
| 0,62 | 1,00 | 0,317 |
| 1,215 | 1,96 | 0,050 |
| 1,4 | 2,26 | 0,024 |
| 2,0 | 3,23 | 0,001 |
La colonne de droite est une aire, pas un degré de croyance : elle répond à « si le centre était 0, à quelle fréquence serais-je tombé aussi loin ? ».
La cloche est N(0 ; 0,62²) : le décor imposé par H₀. Son centre est en 0 : H₀ le dit. Sa largeur est le SE, que H₀ ne touche pas. Déplace β̂1 : les deux traits ambre bougent, l'aire rouge — la p-value — se réduit, et la cloche ne bouge jamais. C'est là que se lit la distinction : le curseur agit sur l'observation, pas sur l'hypothèse. La barre violette ± SE est la largeur, seule quantité que le curseur ne change pas.
L'IC est centré sur l'estimateur tronc
L'intervalle change de point d'appui. Il n'utilise de la distribution que sa largeur ; son centre, il le prend là où il peut — sur le seul nombre disponible.
Le centre de la distribution est β1, inconnu : impossible de dessiner l'intervalle autour de lui. On retourne la relation « β̂1 est à moins de 1,96 SE de β1 dans 95 % des tirages » en « β1 est à moins de 1,96 SE de β̂1 » — la même distance, lue depuis l'autre bout.
L'IC n'est pas centré sur H₀. H₀ n'entre pas dans sa formule : on peut construire l'intervalle sans avoir posé d'hypothèse.
« On ne connaît pas β1, donc on ne peut pas centrer sur lui, donc on centre sur ce qu'on a, β̂1, avec la largeur que donne SE. »
1,4 ± 1,215 = [0,185 ; 2,615]
Arrondi à deux décimales : [0,18 ; 2,62].
| centre | largeur | |
|---|---|---|
| distribution sous H₀ | 0 (imposé) | SE = 0,62 |
| distribution réelle | β1 (inconnu) | SE = 0,62 |
| intervalle de confiance | 1,4 (observé) | ± 1,96 × 0,62 |
Trois lignes, une seule largeur, trois centres différents. Confondre la première et la troisième produit l'erreur classique : lire [0,18 ; 2,62] comme un intervalle autour de zéro, ou construire un intervalle autour de 0 et s'étonner que 1,4 en sorte.
Sur quoi porte le 95 % tronc
Le 95 % ne qualifie ni β1 ni l'intervalle en main. Il qualifie la procédure : « tirer un échantillon → calculer β̂1 ± 1,96·SE ».
Dans cette probabilité, ce qui varie ce sont les bornes, pas β1 qui reste planté au même endroit. Une fois l'échantillon tiré, les bornes valent 0,18 et 2,62 : plus rien n'est aléatoire, et l'intervalle en main contient β1 ou ne le contient pas. On ignore lequel des deux, et aucune probabilité ne décrit cette ignorance en fréquentiste.
« β1 est fixe, donc il n'a pas de probabilité d'être dans un intervalle, donc le 95 % ne peut porter que sur les intervalles, donc sur la procédure qui les produit sur des tirages répétés. »
« La procédure “tirer un échantillon, calculer la pente, poser ± 1,96 × 0,62 autour d'elle” produit des intervalles qui contiennent β1 dans 95 % des tirages. Celui qu'elle m'a donné cette fois-ci est [0,18 ; 2,62]. »
Test de cohérence : les deux phrases suivantes sont fausses, et on voit pourquoi sur la figure — 95 % des β̂1 tombent dans [0,18 ; 2,62] (non : chaque échantillon déplace l'intervalle avec lui) ; il y a 95 % de chances que β1 soit dans [0,18 ; 2,62] (non : les deux nombres sont tombés, β1 n'a jamais été tiré).
Ici on triche : on fixe la vérité à β1 = 1,0 (trait bleu) pour pouvoir compter. Chaque ligne horizontale est un échantillon : son β̂1 est tiré dans N(1 ; 0,62²), et l'intervalle β̂1 ± 1,96·SE est posé autour. Vert si la ligne coupe le trait bleu, rouge sinon. Rejoue : le compte oscille autour de 47 ou 48 sur 50, jamais exactement. La ligne du bas, plus épaisse, est celle que tu as en main : elle est verte ou rouge, et dans la vraie vie tu ne vois ni sa couleur ni le trait bleu. Le 95 % est la proportion de vert sur la colonne entière, pas une propriété de ta ligne.
Dualité : un seul calcul, deux lectures
Test et intervalle comparent la même distance au même seuil. La distance est |β̂1 − 0|, le seuil est 1,96·SE.
Généralisation : l'IC95 est exactement l'ensemble des valeurs b que le test au seuil 5 % ne rejetterait pas si l'on posait H₀ : β1 = b. L'intervalle est le test, balayé sur toutes les hypothèses possibles.
« L'IC contient 0 exactement quand la distance de β̂1 à 0 est sous 1,96·SE, donc le test rejette exactement quand elle la dépasse, donc les deux sorties du logiciel sont le même calcul lu dans les deux sens. »
Distance : |1,4 − 0| = 1,4. Seuil : 1,96 × 0,62 = 1,215. Donc 1,4 > 1,215 : on rejette, 0 est hors de l'intervalle, p = 0,024 < 0,05. Les trois lectures s'accordent, forcément.
Le point de bascule est β̂1 = 1,215 : là, la borne basse de l'IC vaut exactement 0 et p vaut exactement 0,050.
Ce que l'IC dit en plus. Le test rend un bit — rejet ou non. L'intervalle rend l'échelle : [0,18 ; 2,62] annonce que la pente pourrait tout aussi bien valoir 0,2 que 2,6, soit un facteur 14 sur l'effet. Une même p-value peut venir d'un intervalle serré autour de 1,4 ou de celui-ci, très large : la décision est la même, la conclusion métier ne l'est pas.
Où ça casse casse
Les quatre erreurs classiques sont quatre façons de déplacer un nombre d'une colonne à l'autre : rendre β1 aléatoire, rendre l'intervalle fixe, oublier combien de tests ont été faits, confondre la largeur avec l'importance.
« La p-value est une probabilité sur les données sous H₀, donc la retourner en probabilité sur H₀ demande un prior, donc sans prior elle ne dit rien de la chance que β1 soit nul, et un intervalle ne dit rien de l'endroit où tombent les autres estimateurs. »
- « 97 % de chances que β1 ≠ 0 ». Le complément d'une p-value n'est pas une probabilité d'hypothèse. p = P(données au moins aussi extrêmes ; H₀) ; ce que la phrase veut dire est P(H₀ | données), et passer de l'une à l'autre demande la formule de Bayes, donc un prior sur β1 — c'est le fil B, et c'est un autre cadre, pas une reformulation.
- « 95 % des échantillons donnent β̂1 dans [0,18 ; 2,62] ». L'intervalle n'est pas une plage de tirage : il se déplace avec chaque échantillon, comme les 50 lignes de la figure 2. La quantité qui vaut 95 % est la proportion d'intervalles contenant β1, jamais la proportion d'estimateurs tombant dans l'un d'eux.
- Multiplicité. Sous H₀ partout, une p-value est uniforme sur [0, 1] : sur 20 hypothèses testées, on attend 1 résultat à p < 0,05, et la chance d'en voir au moins un est 1 − 0,95²⁰ = 0,64. La p-value affichée suppose H3 — un seul test. Combien en a-t-on fait est une information qui ne figure pas dans la sortie (chaîne p01-04).
- Significatif n'est pas important. Le SE décroît en 1/√n : avec n énorme, β̂1 = 0,001 et SE = 0,0002 donnent z = 5 et une p-value de 6·10⁻⁷, pour un effet nul en pratique. L'IC, lui, l'annonce : [0,0006 ; 0,0014]. Lire l'intervalle avant la p-value — il porte l'échelle, elle ne porte qu'une décision.
Résumé
- H₀ porte sur le paramètre (β1 = 0), jamais sur l'estimateur. Elle fixe le centre de la distribution de β̂1 ; le SE en fixe la largeur.
- p = P(au moins aussi extrême ; H₀) : une aire sous N(0, SE²), donc une probabilité sur β̂1. Ici 2·(1 − Φ(2,26)) = 0,024.
- IC = β̂1 ± 1,96·SE : centré sur l'estimateur — le centre vrai est inconnu — largeur donnée par le SE. Ici [0,185 ; 2,615].
- Le 95 % porte sur la procédure : la proportion d'intervalles couvrant β1 sur des tirages répétés. L'intervalle en main le contient ou non.
- Dualité : 0 ∉ IC95 ⟺ |z| > 1,96 ⟺ p < 0,05. Même distance, même seuil.
- Ni « probabilité que β1 ≠ 0 » (il faudrait un prior), ni « 95 % des β̂ tombent dans cet IC » (l'intervalle bouge avec l'échantillon).
- Une p-value suppose un seul test ; un effet significatif peut être minuscule. L'intervalle porte l'échelle.
Chaîne verbalisée — une prise, à voix haute
- Sur quoi porte H₀, et qu'est-ce qu'elle change ?Sur β1, le paramètre fixe — jamais sur β̂1. Elle change le centre de la distribution de l'estimateur : N(0, SE²). La largeur, non.
- Que vaut la p-value ici, et que dit-elle exactement ?0,024 = P(|β̂1| ≥ 1,4 ; β1 = 0). Une aire sous N(0 ; 0,62²), bilatérale : une probabilité sur l'estimateur, conditionnelle à H₀.
- Sur quoi l'intervalle est-il centré, et pour quelle raison ?Sur β̂1 = 1,4 : β1 est inconnu, on ne peut pas centrer dessus. Seule la largeur vient de la distribution : ± 1,96 × 0,62 = ± 1,215.
- Sur quoi porte le 95 % ?Sur la procédure « tirer → calculer β̂1 ± 1,96 SE » : 95 % des intervalles qu'elle produit contiennent β1. Celui en main le contient ou non.
- Pourquoi « 97 % de chances que β1 ≠ 0 » est-il faux ?β1 n'est pas aléatoire, il n'a pas de probabilité. Et p = P(données ; H₀), pas P(H₀ | données) : retourner le conditionnement demande un prior.
Ponts et cartes
stats::h0 (H₀ porte sur le paramètre, elle fixe le centre) · stats::pvalue (P(données ; H₀), aire bilatérale, jamais P(H₀ | données)) · stats::ic (centré sur l'estimateur, largeur 1,96·SE, dualité avec le test) · stats::inference (le 95 % porte sur la procédure).
Une carte qui résiste après cette chaîne est une carte à refondre, pas une section à relire.