- Variable aléatoire. Un nombre qui dépend du tirage : « ce mail est-il un spam » vaut 0 ou 1 selon le mail tiré. On la note X, T, majuscule ; la valeur observée est en minuscule.
- Loi. La liste des valeurs possibles avec leur probabilité (cas discret : P(X = k)), ou la densité qui s'intègre pour donner une probabilité (cas continu, p00-02). Une densité s'évalue en un point et s'intègre sur un intervalle : f(t) n'est pas une probabilité.
- Espérance E. La valeur moyenne sur les tirages, pas la valeur la plus probable. E[X] = Σ k·P(X = k).
- Variance Var. La dispersion autour de E : Var(X) = E[(X − E[X])²]. Son additivité sous indépendance est démontrée en p00-02 ; on s'en sert ici sans la redémontrer.
La chaîne
Le décor
Quatre questions sur la même boîte mail : ce mail est-il un spam ? combien de spams sur 10 mails ? combien en une heure ? combien de temps avant le prochain ?
Quatre mécanismes différents, donc quatre lois différentes. Le même jeu de données, lu par quatre questions, ne produit pas la même loi — c'est la question et le mécanisme qui la fixent.
« Un nombre n'a pas de loi en soi, donc je décris d'abord le mécanisme qui le produit, donc la loi se nomme toute seule. »
| question | ce qu'on mesure | loi |
|---|---|---|
| ce mail est-il un spam ? | 0 ou 1 | Bernoulli(0,3) |
| combien de spams sur 10 mails ? | un compte sur n fixé | Binomiale(10 ; 0,3) |
| combien de spams en une heure ? | un compte sur une durée | Poisson(4) |
| combien de temps avant le prochain ? | une durée | Exponentielle(4/h) |
Chiffres du fil rouge : p = 0,3 de spam par mail, 4 spams par heure en moyenne, temps de réponse d'un agent de 12 min en moyenne avec 3 min d'écart-type.
Bernoulli(p) — un essai oui/non tronc
Un seul essai à deux issues : X ∈ {0, 1} avec P(X = 1) = p. Un seul paramètre, donc tout se lit sur lui.
La variance est maximale en p = ½ et vaut 0,25 : c'est là que l'issue est la moins prévisible. Elle s'annule en 0 et en 1, où il n'y a plus rien à tirer.
« Un seul essai à deux issues, donc la loi n'a qu'un paramètre, donc tout se lit sur p : la moyenne est p et la variance p(1 − p), maximale à un demi. »
Un mail tiré au hasard : X = 1 s'il est spam. p = 0,3, donc E = 0,3 et Var = 0,3 · 0,7 = 0,21.
| p | 0,1 | 0,3 | 0,5 | 0,7 | 0,9 |
|---|---|---|---|---|---|
| Var = p(1 − p) | 0,09 | 0,21 | 0,25 | 0,21 | 0,09 |
Lecture : une boîte à 30 % de spams et une boîte à 70 % de spams sont également imprévisibles mail par mail — la variance ne dépend que de la distance à ½.
Binomiale(n, p) — compter les succès de n essais iid tronc
X = somme de n Bernoulli(p) indépendantes. L'espérance est toujours additive, la variance l'est sous indépendance (p00-02) :
Lecture de la formule : C(n,k) compte les placements des k succès, et chaque placement a la probabilité pk(1 − p)n−k parce que l'indépendance transforme la conjonction en produit — la même hypothèse que celle qui fabrique la vraisemblance au fil B (p02-01).
« n essais indépendants de même p, donc la somme de n Bernoulli, donc espérance np et variance np(1 − p), et l'indépendance fait le produit, donc la probabilité de k succès compte les placements. »
Binomiale(10 ; 0,3) : E = 10 · 0,3 = 3, Var = 10 · 0,3 · 0,7 = 2,1, écart-type 1,45.
P(exactement 3) = C(10,3) · 0,3³ · 0,7⁷ = 120 · 0,027 · 0,0824 = 0,267.
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| P(X = k) | 0,028 | 0,121 | 0,233 | 0,267 | 0,200 |
Le reste de la masse, P(X ≥ 5) = 0,150, part dans la queue droite. Le mode est en 3, comme l'espérance — ce n'est pas une règle : pour np non entier, mode et espérance diffèrent.
Chaque barre est P(X = k). Le trait rouge marque E = np, le segment vert couvre E ± √Var. Pousse p vers ½ : la loi devient symétrique et la plus large (Var maximale) ; ramène p vers 0 : elle s'écrase à gauche et devient asymétrique. Monte n à p fixé : la masse se déplace vers la droite comme np, mais la largeur ne grandit que comme √n.
Poisson(λ) — compter des événements rares dans un intervalle tronc
Beaucoup d'occasions indépendantes, chacune improbable, en moyenne λ par intervalle : c'est la limite de Binomiale(n, λ/n) quand n → ∞.
E = Var = λ est le test de la loi : un seul paramètre fixe à la fois le niveau et la dispersion. Si la variance observée s'écarte de la moyenne, l'hypothèse tombe. Poisson compte.
« Beaucoup d'occasions indépendantes chacune de petite probabilité, donc une Binomiale à n grand et p petit, donc à la limite une Poisson dont la moyenne et la variance sont toutes deux λ. »
4 spams par heure en moyenne : Poisson(λ = 4).
Vérification de la limite. Binomiale(1 000 ; 0,004) a la même moyenne np = 4 et donne P(4) = 0,196 contre 0,195 pour Poisson : 4 · 10−4 d'écart. Beaucoup d'occasions, chacune à 0,4 %.
Une heure sans aucun spam arrive donc environ 2 fois sur 100 ; sept spams ou plus, 11 fois sur 100.
Les barres sont la Binomiale(n, λ/n), la ligne rouge à points la Poisson(λ). Les deux ont la même moyenne par construction. Monte n à λ fixé : l'écart maximal entre les deux tombe, et le readout passe au vert quand il descend sous 0,01 — la Poisson est la limite, pas une approximation grossière. Monte λ : la loi s'élargit comme √λ, et sa variance reste égale à sa moyenne.
Exponentielle(λ) — chronométrer jusqu'au prochain événement
Si les comptes sont Poisson(λ) par unité de temps, l'attente T jusqu'au prochain événement est exponentielle : « aucun événement pendant t » est exactement « Poisson à zéro sur une durée t ».
Sans mémoire : P(T > s + t | T > s) = P(T > t). Avoir déjà attendu ne rapproche de rien. Exponentielle chronomètre, Poisson compte : deux lectures du même mécanisme.
« Pas d'événement pendant t, c'est Poisson à zéro sur t, donc e puissance moins lambda t, donc l'attente est exponentielle, et comme cette probabilité ne dépend que de la durée écoulée depuis maintenant, elle est sans mémoire. »
Taux 4 par heure : E[T] = 1/4 h = 15 min.
Médiane = ln 2 / 4 h = 0,173 h = 10,4 min, plus courte que la moyenne de 15 min : la queue à droite tire la moyenne. Une attente sur trois seulement dépasse la moyenne.
Sans mémoire, chiffré. P(T > 45 min | T > 15 min) = e−3/e−1 = e−2 = 0,135 = P(T > 30 min). Quinze minutes déjà attendues ne comptent pour rien.
La densité de l'attente ; l'aire violette est P(T > t). Le trait rouge marque la moyenne 1/λ, le pointillé la médiane — toujours à gauche de la moyenne, c'est la signature d'une queue à droite. Clique sur « déjà attendu 15 min » : la densité conditionnelle se superpose, identique, simplement décalée de 15 min. C'est l'absence de mémoire, vue.
Normale(μ, σ²) — une somme de beaucoup de petits effets
Le théorème central limite (p00-04) la fait apparaître dès qu'on additionne ou qu'on moyenne beaucoup de termes indépendants de variance finie, quelle que soit leur loi. Il n'est pas redémontré ici.
Deux paramètres, et c'est tout : la position μ et l'échelle σ. Ce n'est pas la loi par défaut : c'est la loi des sommes. Sans mécanisme d'addition, rien ne la justifie.
« Le temps de réponse est une somme de beaucoup de petits délais indépendants, donc le TCL s'applique, donc la loi est normale, et les 68 / 95 / 99,7 se lisent directement en écarts-types. »
Moyenne 12 min, écart-type 3 min, et l'on suppose que ce délai est la somme de beaucoup de petits délais (lecture, recherche, rédaction, envoi) : Normale(12 ; 3²).
| bande | intervalle | aire |
|---|---|---|
| μ ± 1σ | 9 – 15 min | 68,3 % |
| μ ± 2σ | 6 – 18 min | 95,4 % |
| μ ± 3σ | 3 – 21 min | 99,7 % |
« 95 % des réponses entre 6 et 18 min » n'est vrai que si la somme est réelle. Si le délai est dominé par un seul terme lourd (une escalade), ce n'est plus une somme de petits effets et la phrase devient fausse — voir le pas suivant et « où ça casse ».
La densité de Normale(12 ; 3²), avec la bande μ ± k σ en violet et son aire calculée. Pose k sur 1, 2, 3 : le readout donne 68,3 / 95,4 / 99,7 %. Ces trois nombres sont le seul contenu opératoire d'une normale — tout le reste (position, échelle) est dans μ et σ.
La table signal → loi tronc
La chaîne se replie en une table à lire dans un seul sens : du signal dans l'énoncé vers la loi. Nommer la loi, c'est hériter d'un coup de sa moyenne, de sa variance et de son test.
Le signal n'est jamais la forme d'un histogramme : c'est la phrase qui décrit comment le nombre est fabriqué.
« Je lis le mécanisme, donc je nomme la loi, donc j'hérite de sa moyenne, de sa variance et de son test. »
| signal dans l'énoncé | loi | E | test |
|---|---|---|---|
| un essai oui/non | Bernoulli(p) | p | — |
| n essais iid, on compte | Binomiale(n, p) | np | Var = np(1−p) < E |
| événements rares dans un intervalle, un taux | Poisson(λ) | λ | Var = E |
| attente jusqu'au prochain | Exponentielle(λ) | 1/λ | sans mémoire |
| somme ou moyenne de beaucoup de termes | Normale(μ, σ²) | μ | symétrie, queues fines |
| une probabilité inconnue sur [0, 1] | Beta (p02-03) | a/(a+b) | support borné |
Sur le fil rouge, la table se lit d'un bout à l'autre : un mail → Bernoulli ; 10 mails → Binomiale ; une heure → Poisson ; l'attente → Exponentielle ; le temps de réponse → Normale.
Où ça casse casse
Chaque loi tient par une hypothèse, et chaque hypothèse a son diagnostic. Le diagnostic se regarde avant de poser la loi, pas après avoir publié le chiffre.
« Chaque loi tient par son hypothèse, donc je regarde d'abord son diagnostic — la variance face à la moyenne pour un comptage, la mémoire pour une attente, les queues pour une normale — donc je vois la loi tomber avant de m'en servir. »
- Dépendance. Des spams par rafales (un attaquant envoie par vagues) : les arrivées ne sont plus indépendantes, les comptes ne sont plus Poisson et Var > E — c'est la surdispersion. Moyenne 4 et variance 9 sur un comptage : le rapport 2,25 dit « pas Poisson » avant tout autre calcul. La loi qui l'absorbe s'appelle la binomiale négative ; on la nomme, on ne s'en sert pas ici.
- p qui varie d'un essai à l'autre. Deux sources de mails avec deux taux de spam différents : le total est un mélange, pas une Binomiale. La Binomiale à p moyen sous-estime la variance, donc les intervalles calculés avec elle sont trop étroits.
- Queues lourdes. Latences, revenus, tailles de fichiers ne sont pas normaux (log-normale, Pareto). Une moyenne ± 2σ y est un mensonge : la moyenne est tirée par la queue et l'écart-type peut même ne pas exister. La médiane et les quantiles (p95, p99) disent vrai.
- La normale « par défaut ». Sans mécanisme de somme, rien ne la justifie. C'est le TCL qui la fabrique, et il demande un n suffisant, d'autant plus grand que la loi de départ est asymétrique (p00-04). Une seule mesure n'est pas une somme.
Résumé
- Une loi est une hypothèse sur le mécanisme : on la nomme par le mécanisme, jamais par la forme de la courbe.
- Bernoulli : un essai (E = p, Var = p(1−p)). Binomiale : compter n essais iid (E = np, Var = np(1−p)) — l'indépendance fait le produit.
- Poisson compte des événements rares, E = Var = λ ; Exponentielle chronomètre l'attente jusqu'au prochain, E = 1/λ, sans mémoire. Même mécanisme, deux lectures.
- Normale : la loi des sommes (TCL), pas la loi par défaut. 68 / 95 / 99,7 à ±1, 2, 3 σ.
- Chaque loi a son test : Var vs E pour Poisson, l'absence de mémoire pour l'exponentielle, symétrie et queues pour la normale.
- Ça casse par la dépendance (surdispersion, Var > E), par un p qui varie (mélange, variance sous-estimée), par les queues lourdes (médiane et quantiles, pas moyenne ± 2σ).
Chaîne verbalisée — une prise, à voix haute
- Combien de spams sur 10 mails, et pourquoi cette loi ?Binomiale(10 ; 0,3) : somme de 10 Bernoulli iid, l'indépendance fait le produit. E = 3, Var = 2,1 ; P(au moins un) = 1 − 0,7¹⁰ = 0,972.
- Combien en une heure, et quel est le test de la loi ?Poisson(4) : beaucoup d'occasions, chacune improbable, limite de Binomiale(n, λ/n). Test : E = Var = λ.
- Combien de temps avant le prochain, et quelle propriété ?Exponentielle de taux 4/h : E = 15 min, médiane 10,4 min, sans mémoire — P(T > 45 | T > 15) = P(T > 30) = 0,135.
- Pourquoi une somme de beaucoup de délais est-elle normale ?TCL : somme de termes indépendants de variance finie, quelle que soit leur loi. C'est la somme qui la justifie, pas l'allure de l'histogramme.
- Var = 9 sur un comptage de moyenne 4 : que conclure ?Var > E ⇒ surdispersion ⇒ les événements ne sont pas indépendants ⇒ pas Poisson. On nomme la binomiale négative.
Ponts et cartes
stats::lois (signal → loi, la table du pas 7) · stats::binomiale (E = np, Var = np(1−p), C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ) · stats::poisson (limite de la binomiale, E = Var = λ comme test) · stats::exponentielle (E = 1/λ, médiane ln2/λ, sans mémoire) · stats::normale (loi des sommes, 68/95/99,7).
Une carte qui résiste après cette chaîne est une carte à refondre, pas une section à relire.